曲面:f1(x,y,z)=x^2/9 +y^2+ z^2/4 -1 =0
Grad(f1)= (2x/9, 2y, z/2), 點(2,1/3, 4/3)處,法向量n1=(4/9, 2/3, 2/3) //(2,3,3)
曲面:f2(x,y,z)=x^3-9yz-4=0
Grad(f2)= (3x^2, -9z, -9y), 點(2,1/3, 4/3)處,法向量n2=(12, -3, -12)//( 4, -1, -4)
點(2, 1/3, 4/3)處切向量與 n1, n2均垂直,
故取切向量=n1 x n2 =(-9, 20, -14), 長度(大小)=√677
單位切向量=(-9, 20, -14)/√677 or (9, -20, 14)/√677
2010-05-18 11:26:03 補充
3D空間曲面f(x,y,z)=0,
Grad(f)=<∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z>代入曲面上點(a, b, c)
即得曲面上該點處的法向量!

1.意義
梯度是單變數函數導函數的推廣
形式上定義是:
單變數實數函數f(x):梯度= f'(x)
多變數實數函數f(x,y,...): 梯度=(fx, fy,...)
(偏導函數形成的向量)

2.方向導數

實數函數f(x,y,...)在點(a,b,...)處,
當點沿著指定方向向量u移動時,
函數值相對於移動量的變化率(純量)
設單位向量u=(u1, u2,...), 點P(a, b,...), 則
函數f(x,y,...)在P點處沿u之方向導數≡ (定義)

lims->0 [f(a+su1, b+su2,...)-f(a,b,...)]/s
(chain rule)=(fx, fy,...)與u之內積(在P點處取值)

因此方向導數>0表示沿u方向時,函數值f(x,y,...)越來越大
(與一階導數>0表f(x)遞增同義)

3. 梯度即切平面的法向量
設空間中曲面為f(x,y,z)=k (常數)
通過曲面上點P(a,b,c)之任一曲線,
可以f(x(t), y(t), z(t))=k表示

(對t求導函數)=> fx*x'(t)+fy*y'(t)+fz*z'(t)=0

即曲線之切向量(x'(t), y'(t), z'(t))與函數之梯度(fx, fy, fz)內積=0

=>梯度與任意曲線(切向量)均垂直
=>梯度為曲面之法向量
註:想像大大的手背(曲面)上一個點P,
通過P點且在手背上任意畫一曲線均與某向量垂直,
則此向量必定與曲面垂直(即法向量)